Merhaba Arkadaşlar,

Bu yazımda matriste yapılan işlemlerden bahsedeceğim.

Matlab'da sayılardan oluşan matrislerle ilgili bazı işlemler yaptırmak mümkündür.Örneğin 1 den 100 e kadar olan sayıları 1x100 lük bir a matrisine, kareleri dizisini de 1x100 lük bir b matrisine atamak daha sonra da karşılıklı elemanları toplamını da bir c matrisine atamak isteyebiliriz.Veya 2x3 lük iki matrisi toplayabilir,çıkarabilir ya da birincinin 3 katına ikincinin -3 katını ilave
edebilir ve sonuç matrisinin tüm elemanlarının 7 fazlasını buldurmak isteyebiliriz.Veya 2x3 lük bir a matrisi ile 3x4 lük bir b matrisinin çarpımını c matrisine atamak isteyebiliriz.İşte bu ve bunun gibi işlemlere
matris işlemleri denir.Şimdi bu işlemlerin bazılarını görelim.

a) Toplama-Çıkarma Bir Sayı ile Çarpma İşlemi:

İki matrisi toplamak (veya çıkarmak) demek,matrislerin aynı mertebedeki elemanları teker teker toplayıp (veya çıkarıp ) aynı mertebeye yazmak demektir.Bu durumda iki matrisin de aynı mertebeden olması gereği açıktır.Bir matrisi sabit bir sayıyla ile toplamak (veya çıkarmak) demek, matrisin elemanlarınının tümünü teker teker o
sayıyla toplamak (veya çıkarmak )demektir.Bir matrisi sabit bir sayıyla ile çarpmak demek ise, matrisin elemanlarının tümünü teker teker o sayıyla çarpmak
demektir.

Örnek: a=[-1 3 5;2 1 7] ve b=[3 -3 -4;1 1 5] matrisleri
veriliyor.

a) c=a+b toplam matrisini b) d=a-b matrisini c) a
matrisinin her elemanınının 5 eksiğine karsılık gelen e
matrisini d) f=2a-3b matrisini bulduran islemleri yazalım.

Çözüm:

a) c=a+b b) d=a-b c) e=a-5 d) f=a+a-b-b-b veya
f=2*a-3*b

b) İki Matrisin Çarpımı, Bir Matrisin Kuvvetleri ve
Çarpma İşlemi:
İki matrisin çarpım işlemi iki biçimde anlaşılır.

1) Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker ,
çarpıp,aynı mertebeye yazmak demektir.Bunu .* işlemi ile gerçekleştiririz.

2)Matematiksel anlamda iki matrisi çarpmak istediğimizde; birinci matris mxn türünde ve ikinci matris mutlaka nxp türünde olmalıdır; yani birinci matrisin sütun sayısı ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır.Bu durumda birinci matrisin i. sütun elemanları ile, ikinci matrisin j. satırındaki elemanlar karşılıklı olarak çarpılır ve sonuçlar toplanır ve bu toplam çarpım matrisinin (i,j)inci mertebeye yazılır.Matrisler arası çarpma işleminin sembolü de * dır.

3)Bir a matrisinin her bir elemanının n. kuvvetlerinden
oluşan matrisi bulmak için a.^n işlemi kullanılır.

4)Satır ve sütun sayıları eşit bir kare matrisi ardışık olarak n defa kendisiyle çarparak, a matrisinin n. kuvvetini bulabiliriz.Örneğin a matrisinin karesi için a*a veya a^2, kübünü buldurmak için a*a*a veya a^3 yazmak yeterlidir.

Not)Bir a matrisinin eleman-elemana çarpma işlemine benzer mantıkla, bir matrisin tüm elemanlarının kareleri,küpleri,sinüsleri,kosinüsleri, logaritmalarından ... oluşan matris bulunmak istenirse; bunu sırayla a.*a (veya a.^2), a.*a.*a,(veya a.^3),sin(a),cos(a),e tabanında logaritması için log(a),10 tabanında logaritmaları için log10(a)... biçiminde gerçekleştirebiliriz.

Örnek: a=[-1 3 5;2 1 7] , b=[3 -3 -4;1 1 5] ve
c=[1 0;-1 2;3 3] matrisleri veriliyor.

a) a matrisinin elemanları ile b matrisinin elemanlarını
karşılıklı çarpımlarından olusan c1 matrisi varsa bulalım.
b) a matrisi ile b matrisinin çarpım matrisi olan c2 varsa
bulalım.
c) a matrisinin elemanları ile c matrisinin elemanlarını
karşılıklı çarpımlarından olusan c3 matrisi varsa bulalım.
d) a matrisi ile c matrisinin çarpım matrisi olan c4 varsa
bulalım.
e) a matrisinin elemanlarının karelerinden olusan matris
ile b matrisinin kosinüslerinden olusan matrisler
toplamını bulalım.
f) x=[1 0;0 3] matrisinin i) Karesini ii) Kübünü iii) 10.
kuvvetini bulalım.

Çözüm:

a) İki matrisin karşılıklı elemanlarının çarpımından oluşan matrisin tanımlı olabilmesi için aynı mertebeli olması gerekir.Bu durumda c1 matrisi tanımlıdır ve bunu c1=a.*b islemi ile gerçeklestirebiliriz.
b) İki matrisin çarpılabilmesi için birinci matrisin sütun sayısı ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır.Halbuki a matrisi 2x3 b matrisi de 2x3 olduğundan bu iki matris çarpılamaz.
c) İki matrisin karşılıklı elemanlarının çarpımından oluşan matrisin tanımlı olabilmesi için aynı mertebeli olması gerekir.Halbuki bu matrisler aynı mertebeden
olmadığından bu iki matris eleman-elemana çarpma işlemi gerçekleşmez.
d) İki matrisin çarpılabilmesi için birinci matrisin sütun sayısı ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır.a matrisi 2x3 lük, c matrisi de 3x2 lik olduğundan bu iki matris çarpılabilir ve c4 çarpım matrisi 2x2 lik bir matris olur.c4 çarpım matrisini c4=a*c islemi ile buluruz.
e) a.^2+cos(b)
f) i) x^2 ii) x^3 iii) x^10

c) Bir Matrisin Devriğini (Transpozesi) Bulma İşlemi:

Bir matrisin satırlarını sütun,sütunlarını satır olarak yazılmasıyla bulunan matrise,bu matrisin devriği(transpozesi)denir.Bir matrisin devriğini .' islemi ile bulabiliriz.

Örnek: Bir önceki örnekteki a matrisinin devriğini
buldurup d matrisine atayalım.

Çözüm: d=a.';

d)İki Matrisin Bölümü,Birim Matris ve Bir Matrisin
Tersi:

Aynı mertebeden iki matrisin elemanlarını teker teker,bölerek,aynı mertebeye yazılmasına iki matrisin sol bölmesi denir ve bu ./ işlemi ile yapılır.
a, b ve c aynı mertebeden kare matrisler olmak üzere c=a*b ise a matrisine c nin b matrisine bölümü denir.c bölüm matrisi / islemi ile yapılır.
Esas kösegeni 1 sayılarından diğer elemanları 0 lardan oluşan kare matrise birim matris denir.

Örneğin:
1x1 lik birim matris [1],
2x2 lik birim matris [1 0;0 1],
3x3 lük birim matris [1 0 0;0 1 0;0 0 1],
4x4 lük birim matris [1 0 0 0;0 1 0 0; 0 0 1 0;0 0 0 1] dir.
Birim matris olusturmak için; eye fonksiyonunu kullanırız.

Örneğin;

2x2 lik i2 adlı birim matrisi i2=eye(2,2);
3x lük i3 adlı birim matrisi i2=eye(3,3); islemi ile oluşturabiliriz.Aynı mertebeden a ve b kare matrisleri için a ile b nin çarpımı birim matris ise b matrisi a matrisinin (aynı biçimde a matrisi de b matrisinin) ters matrisidir.

Örneğin 3x3 lük bir a kare matrisinin tersini bulmak için
eye(3,3)/a veya inv(a) islemini kullanırız.

Örnek:
a=[2 -10 0;1 2 4;3 0 1] matrisi ile b=[1 5 4;1 -1 2;0 1 -1]
matrisleri veriliyor.

a) a matrisinin elemanlarını sırasıyla b matrisinin
elemanlarına bölerek elde edilen matrisi b1 matrisine
atayalım.
b) a matrisinin ta ters matrisini bulalım.
c) a ile ta matrisinin çarpımının 3x3 lük birim matris
olduğunu gösterelim.
d) a matrisinin b matrisine bölümünü b2 matrisine
atayalım.

Çözüm:

a) b1=a./b b) ta=eye(3,3)/a veya ta=inv(a)
c) a*ta ==eye(3,3) d) b2=a/b

Matrisler İle İlgili Bir Uygulama:Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü:

Matris ile ilgili işlemlerin bir çok uygulama sahası vardır.Bunlardan biri de lineer denklem sistemlerinin çözümüdür.Bunun için önce katsayılar matrisi elde edilir,
bu matris a olsun.Denklem sistemindeki eşitliklerin sağ tarafındaki sabit sayılardan oluşan matris b olsun.Bilinmeyenlerden oluşan matris x olmak üzere denklem sistemi ax=b matris esitliği biçimine getirilmiş olur.Buradaki x bilinmiyenler matrisini bulmak için,a nın tersi ile b matrisini çarparız yani
inv(a*b) işlemini yaparız.

Örnek:

2x-3y+z= 15
x-z = -3
x+y+z = 2 denklem sistemini çözelim.

Çözüm:

a=[2 -3 1;1 0 -1;1 1 1 ]; b=[15;-3;2]; x=inv(a)*b

SERAP ŞEN
http://www.serapsen.net
ESOGÜ Bilg.Müh 4.sınıf
Lithuania Vilnius Technical University 2010-2011